Álgebra mediana

En matemática, un álgebra mediana es un conjunto con un operador ternario < x,y,z > que satisface los siguientes axiomas, los cuales generalizan la noción de mediana o función mayorante, como una función booleana:

1. absorción por la derecha: $\langle u,v,v\rangle =v$
2. simetría por la derecha: $\langle u,v,w\rangle =\langle u,w,v\rangle$
3. simetría por la izquierda: $\langle u,v,w\rangle =\langle v,u,w\rangle$
4. transitividad: $\langle u,v,\langle u,w,x\rangle \rangle =\langle u,\langle u,v,w\rangle ,x\rangle$

El segundo y tercer axioma implican conmutatividad. Es posible (pero no sencillo) demostrar que en presencia de los otros tres, el tercer axioma es redundante. El cuarto axioma implica asociatividad.​

Existen otros posibles sistemas axiomáticos, como por ejemplo los siguientes dos axiomas, que también son suficientes:

• $\langle u,v,v\rangle =v$
• $\langle u,v,\langle u,w,x\rangle \rangle =\langle u,x,\langle w,u,v\rangle \rangle$

En un álgebra de Boole, o más general en un retículo distributivo, la función mediana $\langle x,y,z\rangle =(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x)$ satisface estos axiomas. Por lo tanto, cada álgebra de Boole y cada retículo distributivo forman un álgebra mediana.​

Birkhoff y Kiss demostraron que un álgebra mediana con elementos $0$ y $1$ que satisfacen $\langle 0,x,1\rangle =x$ es un retículo distributivo.​

Relación con grafos medianos

Un grafo mediano es un grafo no dirigido en que para cualesquiera tres vértices x, y, z existe un único vértice < x,y,z > que pertenece a los caminos más cortos entre todos los pares conformados por ellos. Cuando un grafo es mediano, la operación < x,y,z > define un álgebra mediana cuyos elementos son los vértices del grafo.

Al revés, en cualquier álgebra mediana, uno puede definir un intervalo [x, z] como el conjunto de elementos y tales que < x,y,z > = y. Se puede definir así un grafo desde un álgebra mediana creando un vértice por cada elemento del álgebra y una arista por cada par (x, z) tal que el intervalo [x, z] no contenga elementos adicionales. Si el álgebra posee la propiedad de que cada intervalo sea finito, entonces este grafo es un grafo mediano, que es exactamente representado por el álgebra, y en que la operación mediana definida por los caminos más cortos en el grafo coinciden con la operación mediana del álgebra original.​

Enlaces externos

• Demostración del álgebra mediana

• Datos: Q6806108